Razones y Proporciones

Edwin Vega, Ricardo Caballero

Razón: Es el cociente de dos cantidades o cifras. Es un vínculo entre dos magnitudes que son comparables entre sí.

*Elementos de la razón:                                                                                      

36/12 = 3

36: Antecedente.
12: Consecuente.
3: Razón.

*Ejemplos:

1) En una fiesta hay 3 hombres por cada 5 mujeres.

3/5 = 0,6

2) En una caja hay 5 bolas rojas y 7 verdes. 

5/7 = 0,714285

3)  Un automóvil recorrió 130 kilómetro, en un tiempo de 2 horas.

130/2 = 65

*Actividad #1:

1)
- Dibuje en un cartoncillo un rectángulo un rectángulo de 1 cm de ancho por 10 cm de largo.

- Dibuje otro rectángulo de 1 cm de ancho por 15 cm de largo.

(Recórtelos).

- Encuentre la razón entre el largo de las figuras anteriores.

AB/CD = 10/15 = 2/3 = 0,66...




2)
- Construir un triángulo equilátero de 5 cm de lado.

- Construir otro triangulo equilátero de 10 cm de lado.

(Con rectángulos de 1 cm por 5 cm) (recortar 3).

AB/DE = 5/10 = 0,5

BC/EF = 5/10 = 0,5

AC/DF = 5/10 = 0,5

Observación: Cuando todas las razones son iguales al comparar los lados de un triángulo, los triángulos se llaman semejantes.



Proporción: Se refiere a la igualdad que hay entre dos razones.

Elementos de la proporción:

a/b = c/d

b, c: Medios
a, d: Extremos

*Ejemplos:

1) Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda?

75/25 = 300/x
x = 300*25/75

x = 100 vueltas.

2) Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

2/0.5 * 90*0.8/200*1.2 = 12/x
x = 12*0.5*200*1.2/2*90*0.8

x = 10 botes.

3) 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

220*48/300*56 * 5/6 = 11/x
x = 11*300*56*6/220*48*5

x = 21 obreros.

*Actividad #2:

- Construya la siguiente figura. Utilice triángulos rectángulos para las velas.

- Compare los dos lados correspondientes de los triángulos y los iguala.

7/35 = 9/x+9                                        Comprobación:
                                                             
7(x+9) = 35*9                                      7/35 = 9/36+9
                                                             
7x+63 = 315                                         7(36+9) = 315            
                                                             
7x = -63+315                                        7(45) = 315               
                                                               
7/x = 252                                                315 = 315

7/7x = 252/7

x = 36/1

x =36

Teorema de Thales de Mileto

- Según el Teorema de Thales de Mileto:

Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales. Por ejemplo:

Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W.

OP=2cm; PQ=2.5cm; QR=3cm
OU=3cm; UV=3.75cm; V W=4.5cm

Se puede observar que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.



Biografía Tales de Mileto:

Tales de Mileto fue un filósofo y científico griego. Nació y murió en Mileto, polis griega de la costa Jonia (hoy en Turquía). Fue el iniciador de la escuela filosófica milesia a la que pertenecieron también Anaximandro (su discípulo) y Anaxímenes (discípulo del anterior). En la antigüedad se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia. No se conserva ningún fragmento suyo y es probable que no dejara ningún escrito a su muerte. Se le atribuyen desde el s. V a. C. importantes aportaciones en el terreno de la filosofía, las matemáticas, astronomía, física, etc., así como un activo papel como legislador en su ciudad natal.

Tales es a menudo considerado el iniciador de la especulación científica y filosófica griega y occidental, aunque su figura y aportaciones están rodeadas de grandes incertidumbres.

Se suele aceptar que Tales comenzó a usar el pensamiento deductivo aplicado a la geometría, y se le atribuye la enunciación de dos teoremas geométricos que llevan su nombre.

Problemas de proporción:

1) Cuál es la altura h de la escalera de la imagen?

25*4 = 100
100/2 = 50

100/50 = h/75
50h = 7500
h = 7500/50
h = 150 

h =     150 cm     


2) Los vecinos de unas comunidad dedicarán un terreno de forma triangular a un parque. Las dimensiones del terreno se muestran en el esquema de abajo. Ellos destinarán una parte para juegos infantiles (de morado en el esquema) y otra para los árboles (de celeste en el esquema).

12/16 = 9/x
12x = 144
x =144/12
x = 12

a. ¿Cuál es el valor de x?
R=     12 m     

16/14 = 12/y
16y = 168
y = 168/16
y = 10,5

16/14 = 12/10,5
14*12 = 16*10,5
168 = 168

b. ¿Cuál es el área, en metros cuadrados, dedicada a los juegos infantiles?
R=      168 m2        


3) Humberto construyó 2 apartamentos en forma de trapecio, como se muestra en el siguiente esquema, en el que las líneas celestes son paralelas. 

8 + 10 = 18

18/10 = 27/x
18x = 270
x = 270/18
x = 15

¿Cuál es el valor de x?
R=         15 m          


4) Según el esquema siguiente, ¿qué longitud de la pendiente del estanque de truchas (x) está cubierto por agua?

• Considera que el fondo del estanque es paralelo a la superficie del agua y a la línea punteada.

17/11 = 1,54

1/3 =1,54/x

1x = 4,62

x = 4,62

R=     4,62 m       

5) Carlos hizo un estudio para determinar el costo de construir una rampa en el colegio. Elaboró el siguiente esquema, en el que los postes de la baranda son paralelos.

28/27 = 1,037

1,037*4 = 4,148

1,037/4,148 = 1/x

1,037x = 4,148

x = 4,148/1,037

x = 4

¿Cuál es el valor de x?

R=          4 m           

6) A las 4 p.m., la casa de Pablo proyectaba una sombra de 8 m, medida desde el borde de la casa. Seguidamente Pablo colocó una antena y ahora la casa, junto con la antena, proyecta a esa misma hora una sombra de 10 m. ¿Cuál es el largo de la antena? (En el esquema las líneas punteadas son paralelas).

8+10 = 12

x/5 = 12/10

10x = 60/10

x = 6

10-8 = 2

x/6 = 2/12

12x = 12

x = 12/12

x = 1

R=     1 m